解説

1. 誤り。「死亡した日から30日」ではありません。宅地建物取引士が死亡した場合、その相続人は死亡の事実を知った日から30日以内に、その旨を免許権者に届け出る必要があります（宅建業法21条1号）。
   
2. 誤り。宅地建物取引士は、現在登録をしている都道府県以外の都道府県に所在する宅地建物取引業者の事務所に従事する（または従事しようとする）場合、その事務所の所在地の都道府県知事に対し、登録をしている都道府県知事を経由して、登録の移転の申請をすることができます（宅建業法19条の2）。これは権利規定なので「しなくてはならない」ではないことに注意しましょう。
   

   第十八条第一項の登録を受けている者は、当該登録をしている都道府県知事の管轄する都道府県以外の都道府県に所在する宅地建物取引業者の事務所の業務に従事し、又は従事しようとするときは、当該事務所の所在地を管轄する都道府県知事に対し、当該登録をしている都道府県知事を経由して、登録の移転の申請をすることができる。ただし、その者が第六十八条第二項又は第四項の規定による禁止の処分を受け、その禁止の期間が満了していないときは、この限りでない。

3. 誤り。事務禁止処分を受けた宅地建物取引士は、速やかに、取引士証をその交付を受けた都道府県知事に提出する必要があります（宅建業法22条の2第7項）。また本肢のとおり、登録消除の処分を受けたときは返納しなければいけません（宅建業法22条の2第6項）。
   

   宅地建物取引士は、第六十八条第二項又は第四項の規定による禁止の処分を受けたときは、速やかに、宅地建物取引士証をその交付を受けた都道府県知事に提出しなければならない。

   宅地建物取引士は、第十八条第一項の登録が消除されたとき又は宅地建物取引士証が効力を失つたときは、速やかに、宅地建物取引士証をその交付を受けた都道府県知事に返納しなければならない。

4. [正しい]。37条書面交付時は、原則として取引士証の提示は不要です。しかし、取引の関係者から請求があった場合には、いつでも取引士証を提示しなくてはなりません（宅建業法22条の4）。
   

   宅地建物取引士は、取引の関係者から請求があつたときは、宅地建物取引士証を提示しなければならない。