解説

1. 誤り。宅地建物取引士の登録は、宅建士試験に合格した都道府県でしか行えないので、登録は合格した都道府県の知事に申請することになります（宅建業法18条1項宅建業法19条）。この場合、甲県知事が実施する法定講習^※を受講の上、甲県で登録を受けてから（甲県知事を経由して）乙県知事に登録の移転の申請をする必要があります（※実務経験がない場合は登録実務者講習も）。
   また、宅地建物取引業者に勤務することになったとしても、宅地建物取引士としての業務を行わないのであれば登録を受ける義務はありません。本肢は「しなければならない」としているので、この点でも誤りです。
   

   試験に合格した者で、宅地若しくは建物の取引に関し国土交通省令で定める期間以上の実務の経験を有するもの又は国土交通大臣がその実務の経験を有するものと同等以上の能力を有すると認めたものは、国土交通省令の定めるところにより、当該試験を行つた都道府県知事の登録を受けることができる。ただし、次の各号のいずれかに該当する者については、この限りでない。

   前条第一項の登録を受けることができる者がその登録を受けようとするときは、登録申請書を同項の都道府県知事に提出しなければならない。

2. 誤り。宅地建物取引士である者は、宅建士登録簿の記載事項（氏名や住所等）に変更があった場合、登録を受けている都道府県知事に対して、遅滞なく変更の登録を申請する必要があります（宅建業法18条2項宅建業法20条）。
   

   前項の登録は、都道府県知事が、宅地建物取引士資格登録簿に氏名、生年月日、住所その他国土交通省令で定める事項並びに登録番号及び登録年月日を登載してするものとする。

   第十八条第一項の登録を受けている者は、登録を受けている事項に変更があつたときは、遅滞なく、変更の登録を申請しなければならない。

3. 誤り。従事している宅地建物取引業者の名称と免許証番号は宅建士名簿の記載事項ですが、業者の所在地は記載されていません（宅建業法規則14条の2第5号）。よって、変更の届出は不要です。
   

   宅地建物取引業者の業務に従事する者にあつては、当該宅地建物取引業者の商号又は名称及び免許証番号

4. [正しい]。移転後の都道府県知事から交付される宅地建物取引士証の有効期間は、移転前の宅地建物取引士証の残存期間と同じになります（宅建業法22条の2第5項）。
   

   前項に規定する場合において、登録の移転の申請とともに宅地建物取引士証の交付の申請があつたときは、移転後の都道府県知事は、前項の宅地建物取引士証の有効期間が経過するまでの期間を有効期間とする宅地建物取引士証を交付しなければならない。