解説

1. 正しい。禁錮以上の刑に処された者は、登録の欠格事由に該当します（宅建業法18条1項6号）。登録の欠格事由に該当することとなった宅地建物取引士は、その日から30日以内に登録をしている都道府県知事に届け出なくてはなりません（宅建業法21条2号）。
   

   第十八条第一項の登録を受けている者が次の各号のいずれかに該当することとなつた場合においては、当該各号に定める者は、その日（第一号の場合にあつては、その事実を知つた日）から三十日以内に、その旨を当該登録をしている都道府県知事に届け出なければならない。
   …
   二　第十八条第一項第一号から第八号までのいずれかに該当するに至つた場合　本人

2. 正しい。宅地建物取引士が事務禁止処分を受けたときは、速やかに、宅地建物取引士証をその交付を受けた都道府県知事に提出しなければなりません（宅建業法22条の2第7項）。この提出義務に違反した者は、10万円以下の過料に処されます（宅建業法86条）。
   

   宅地建物取引士は、第六十八条第二項又は第四項の規定による禁止の処分を受けたときは、速やかに、宅地建物取引士証をその交付を受けた都道府県知事に提出しなければならない。

   第二十二条の二第六項若しくは第七項、第三十五条第四項又は第七十五条の規定に違反した者は、十万円以下の過料に処する。

3. [誤り]。宅地建物取引士証の交付や更新の際に受講するのは、国土交通大臣ではなく、都道府県知事が指定する講習で申請前6か月以内に行われるものです（宅建業法22条の2第2項）。後半の宅地建物取引士証の有効期間が5年という説明は適切です。
   

   宅地建物取引士証の交付を受けようとする者は、登録をしている都道府県知事が国土交通省令の定めるところにより指定する講習で交付の申請前六月以内に行われるものを受講しなければならない。…

4. 正しい。宅地建物取引士は、宅地建物取引士の信用又は品位を害するような行為をしてはなりません（宅建業法15条の2）。信用を害する行為には、職務として行われるものに限らず、職務に必ずしも直接関係しない行為や私的な行為も含まれます（解釈運用-第15条の2関係）
   

   宅地建物取引士は、宅地建物取引士の信用又は品位を害するような行為をしてはならない。

   宅地建物取引士の信用を傷つけるような行為とは、宅地建物取引士の職責に反し、または職責の遂行に著しく悪影響を及ぼすような行為で、宅地建物取引士としての職業倫理に反するような行為であり、職務として行われるものに限らず、職務に必ずしも直接関係しない行為や私的な行為も含まれる。